Что такое гармоника в физике

Что такое гармоника в физике

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с процессами, которые называют колебательными.

Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 1).

Рисунок 1. Механические колебательные системы.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными . Простейшим видом колебательного процесса являются гармонические колебания.

x = xm cos (ωt + φ).

Здесь x — смещение тела от положения равновесия, xm — амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω — циклическая или круговая частота колебаний, t — время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ, поэтому φ называют начальной фазой.

Частота колебаний — есть Физическая величина, обратная периоду колебаний.

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты — герц (Гц) , названная в честь немецкого физика Генриха Герца. Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

На рис. 2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света ( стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Рисунок 2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ = 0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T / 12.

Рис. 3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний xm, либо период T (или частота f), либо начальная фаза φ.

Рисунок 3. Во всех трех случаях для синих кривых φ = 0: а – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x’m > xm); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T’ = T / 2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы ( рад).

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость v = vx движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x(t) по времени t и обозначается как или как x'(t) или, наконец, как . Для гармонического закона движения вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости v = ωxm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции v(t) по времени t, или второй производной функции x(t). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, по второму закону динамики сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0). На рис. 4 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

В данной статье мы рассмотрим что такое гармоники, фундаментальную частоту и сложные формы волны из-за гармоник, в конце статьи подведем краткие итоги по этой теме.

Что такое гармоники

Гармоники — это нежелательные более высокие частоты, которые накладываются на основную форму волны, создавая искаженную волновую картину.

В цепи переменного тока сопротивление ведет себя точно так же, как в цепи постоянного тока. То есть ток, протекающий через сопротивление, пропорционален напряжению на нем. Это связано с тем, что резистор является линейным устройством, и если приложенное к нему напряжение представляет собой синусоидальную волну, ток, протекающий через него, также является синусоидальной, поэтому разность фаз между двумя синусоидами равна нулю.

Как правило, при работе с переменными напряжениями и токами в электрических цепях предполагается, что они имеют чистую и синусоидальную форму с присутствием только одного значения частоты, называемого «основной частотой», но это не всегда так.

В электрическом или электронном устройстве или цепи, которая имеет вольт-амперную характеристику, которая не является линейной, то есть ток, протекающий через нее, не пропорционален приложенному напряжению. Чередующиеся сигналы, связанные с устройством, будут отличаться в большей или меньшей степени от сигналов идеальной синусоидальной формы. Эти типы сигналов обычно называют несинусоидальными или сложными сигналами.

Сложные сигналы генерируются обычными электрическими устройствами, такими как индукторы с железной сердцевиной, переключающие трансформаторы, электронные балласты в люминесцентных лампах и другие такие сильно индуктивные нагрузки, а также формы выходного напряжения и тока генераторов переменного тока, генераторов и других подобных электрических машин. В результате форма волны тока не может быть синусоидальной, даже если форма волны напряжения есть.

Читайте также:  Описание томата веселый гном

Также большинство электронных схем переключения источников питания, таких как выпрямители, кремниевые выпрямители (SCR), силовые транзисторы, преобразователи питания и другие подобные твердотельные переключатели, которые отключают и измельчают источники питания синусоидальной формы волны для управления мощностью двигателя или преобразования синусоидального источника переменного тока в постоянный. Эти переключающие схемы имеют тенденцию потреблять ток только при пиковых значениях источника переменного тока, и, поскольку форма сигнала переключающего тока не является синусоидальной, результирующий ток нагрузки, как говорят, содержит гармоники.

Несинусоидальные сложные формы волны создаются путем «сложения» серии синусоидальных частот, известных как «гармоники». Гармоники — это обобщенный термин, используемый для описания искажения синусоидальной формы волны сигналами разных частот.

Тогда независимо от формы сложную форму волны можно математически разделить на отдельные компоненты, называемые основной частотой и рядом «гармонических частот». Но что мы понимаем под «фундаментальной частотой»?

Фундаментальная частота

Фундаментальные формы волны (или первая гармоника) является синусоидальным сигналом , который имеет частоту питания. Фундаментальным является самой низкой или базовой частотой, ƒ , на которой построен комплекс формы сигнала и в качестве такового периодического времени, Τ результирующего комплексного сигнала будет равен периоду основной частоты.

Давайте рассмотрим основной сигнал переменного тока первой гармоники, как показано на рисунке.

Мы можем видеть, что синусоидальная форма волны представляет собой переменное напряжение (или ток), которое изменяется как синусоидальная функция угла, 2πƒ . Частоты формы волны, ƒ определяется числом циклов в секунду. В Соединенном Королевстве эта основная частота установлена ​​на 50 Гц, тогда как в Соединенных Штатах она составляет 60 Гц.

Гармоники — это напряжения или токи, которые работают на частоте, которая является целым (целым числом) кратным основной частоте. Таким образом, для основной формы волны 50 Гц это означает, что частота 2-й гармоники будет 100 Гц (2 x 50 Гц), 3-й гармоники будет 150 Гц (3 x 50 Гц), 5-й = 250 Гц, 7-й = 350 Гц и так далее. Аналогичным образом, с учетом основной формы волны 60 Гц частоты 2-й, 3-й, 4-й и 5-й гармоник будут равны 120 Гц, 180 Гц, 240 Гц и 300 Гц соответственно.

Другими словами, мы можем сказать, что «гармоники» являются кратными основной частоты и поэтому могут быть выражены как: 2ƒ , 3ƒ , 4ƒ и т.д.

Сложные формы волны

Обратите внимание, что красные формы волны, приведенные выше, являются фактическими формами сигналов, видимыми нагрузкой, из-за гармонического содержания, добавляемого к основной частоте.

Основной сигнал также можно назвать сигналом 1 й гармоники. Поэтому вторая гармоника имеет частоту, в два раза превышающую частоту основной, третья гармоника имеет частоту, в три раза превышающую основную, а четвертая гармоника имеет частоту, в четыре раза превышающую основную, как показано в левом столбце.

Правый столбец показывает сложную форму волны, сгенерированную в результате эффекта между добавлением основной формы волны и форм гармонических колебаний на разных частотах гармоник. Обратите внимание, что форма результирующего сложного сигнала будет зависеть не только от количества и амплитуды присутствующих частот гармоник, но также и от соотношения фаз между основной или базовой частотой и отдельными частотами гармоник.

Мы можем видеть, что сложная волна состоит из основной формы волны плюс гармоники, каждая из которых имеет свое пиковое значение и фазовый угол. Например, если основная частота задана как: E = V MAX (2πƒt) или V MAX (ωt) , значения гармоник будут заданы:

Для второй гармоники:

Е 2 = V 2max (2 * 2πƒt) = V 2max (4πƒt) = V 2max (2ωt)

Для третьей гармоники:

E 3 = V 3max (3 * 2πƒt) = V 3max (6πƒt), = V 3max (3ωt)

Для четвертой гармоники:

E 4 = V 4max (4 * 2πƒt) = V 4max (8πƒt), = V 4max (4ωt)

Тогда уравнение, данное для значения сложной формы волны, будет иметь вид:

Гармоники обычно классифицируются по их названию и частоте, например, 2- й гармонике основной частоты при 100 Гц, а также по их последовательности. Гармоническая последовательность относится к векторному вращению гармонических напряжений и токов по отношению к основной форме волны в сбалансированной 3-фазной 4-проводной системе.

Гармоника прямой последовательности (4-й, 7-й, 10-й,…) будет вращаться в том же направлении (вперед), что и основная частота. Тогда как гармоника обратной последовательности (2-й, 5-й, 8-й,…) вращается в противоположном направлении (обратном направлении) основной частоты.

Как правило, гармоники прямой последовательности нежелательны, поскольку они ответственны за перегрев проводников, линий электропередач и трансформаторов из-за добавления сигналов.

С другой стороны, гармоники обратной последовательности циркулируют между фазами, создавая дополнительные проблемы с двигателями, поскольку противоположное вращение вектора ослабляет вращательное магнитное поле, необходимое для двигателей, и особенно асинхронных двигателей, заставляя их создавать меньший механический крутящий момент.

Читайте также:  Печь для приготовления пищи на улице

Другой набор специальных гармоник, называемых «тройками» (кратными трем), имеют нулевую последовательность вращения. Тройки — это кратные третьей гармоники (3-й, 6-й, 9-й, …) и т.д., отсюда и их название, и поэтому они смещены на ноль градусов. Гармоники нулевой последовательности циркулируют между фазой и нейтралью или землей.

В отличие от гармонических токов прямой и обратной последовательностей, которые взаимно компенсируют друг друга, гармоники третьего порядка не компенсируются. Вместо этого сложите арифметически в общем нейтральном проводе, который подвергается воздействию токов всех трех фаз.

В результате амплитуда тока в нейтральном проводе из-за этих тройных гармоник может быть в 3 раза больше амплитуды фазового тока на основной частоте, что делает его менее эффективным и перегретым.

Затем мы можем суммировать эффекты последовательности, кратные основной частоте 50 Гц:

Название Основная Вторая Третья Четвертая Пятая Шестая Седьмая Восьмая Девятая
Частота, Гц 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Последовательность + + +

Обратите внимание, что та же самая гармоническая последовательность также применяется к основным сигналам 60 Гц.

Последовательность Вращение Гармонический эффект
+ Вперед Чрезмерный эффект нагрева
Обратный ход Проблемы с крутящим моментом двигателя
Нет Добавляет напряжения и / или токи в нейтральный провод, вызывая нагрев

Резюме по гармоникам

Гармоники — это высокочастотные сигналы, накладываемые на основную частоту, то есть частоту цепи, и которые достаточны для искажения формы волны. Величина искажения, применяемого к основной волне, будет полностью зависеть от типа, количества и формы присутствующих гармоник.

Гармоники были в достаточном количестве только в течение последних нескольких десятилетий с момента появления электронных приводов для двигателей, вентиляторов и насосов, цепей переключения электропитания, таких как выпрямители, преобразователи питания и тиристорные регуляторы мощности, а также большинства нелинейных электронных фаз с управлением нагрузки и высокочастотные (энергосберегающие) люминесцентные лампы. Это связано, главным образом, с тем фактом, что управляемый ток, потребляемый нагрузкой, не точно соответствует синусоидальным сигналам питания, как в случае выпрямителей или силовых полупроводниковых коммутационных цепей.

Гармоники в системе распределения электроэнергии в сочетании с источником основной частоты (50 Гц или 60 Гц) создают искажения формы сигналов напряжения и / или тока. Это искажения создают сложную форму волны, состоящую из ряда частот гармоник, которые могут оказать неблагоприятное воздействие на электрооборудование и линии электропередач.

Величина искажения формы волны, придающая сложной форме ее характерную форму, напрямую связана с частотами и величинами наиболее доминирующих гармонических компонентов, частота гармоник которых кратна (целым числам) основной частоты. Наиболее доминирующими гармоническими составляющими являются гармоники низкого порядка со 2- го по 19- е, причем тройки являются наихудшими.

На струне, закрепленной на одном конце, могут существовать колебания любых частот. Закрепим теперь второй конец струны в точке с координатой . Имеем то же решение (2.53), которое должно удовлетворять дополнительному граничному условию:

Это означает, что

На струне длиной l, закрепленной на обоих концах, могут существовать только стоячие волны с волновыми векторами

Соответственно, длины волн будут

Иными словами, на длине струны должно укладываться целое число полуволн. Следовательно, закрепленная с обоих концов струна может колебаться только с определенными частотами:

Мы использовали здесь уравнение (2.2) для скорости волн на натянутой струне.

Из (2.58) видно, что частота колебаний повышается при:

  • уменьшении длины струны;
  • уменьшении ее толщины (линейной плотности);
  • увеличении натяжения.

Эти закономерности известны каждому, кто держал в руках хотя бы гитару. Колебания с низшей частотой (n = 1) называются основной (первой) гармоникой, с последующими частотами — высшими (второй, третьей и т. п.) гармониками.

Аналогичные граничные условия существуют и для колебаний воздуха в трубах духовых музыкальных инструментов. Соответственно, в их сигналах также присутствуют только вполне определенные частоты. Рассмотрим, например, органную трубу длиной l. Волна давления в ней также может быть описана уравнением вида (2.53):

Если труба открыта с обеих сторон, то давление на концах равно стационарному (атмосферному) и в точках х = 0, l. Отсюда получаем те же условия для волновых чисел

Если же труба открыта в точке х = 0 и закрыта на другом конце (х = l), то на закрытом конце смещение частиц равно нулю, а давление достигает максимума или минимума:

Отсюда следуют несколько иные соотношения:

Первая гармоника для такой трубы возбуждается на частоте

что в два раза меньше частоты

первой гармоники полностью открытой трубы.

Пример 3. Нейлоновая гитарная струна имеет линейную плотность массы 7.2 г/м и натянута с силой 150 Н. Длина струны 90 см. Определим, каковы четыре низшие частоты, извлекаемые на такой струне?

Скорость волны на струне равна

Наибольшая длина стоячей волны в струне равна м. Отсюда находим самую низкую частоту:

(Эта частота соответствует ноте «фа» большой октавы.)

Следующие частоты являются целыми кратными n1:

Отсюда следует: n1 = 2·87.3 = 174.6 Гц («фа» малой октавы), n3 = 3·87.3 = 261.9 Гц («до» первой октавы) и n1 =87.3 = 349.2 Гц («фа» первой октавы).

Читайте также:  Течет радиатор газовой колонки

Пример 4. Струна звучит на ноте «до» первой октавы. Максимальное отклонение точек струны от положения равновесия равно итах = 2 мм. Найдем максимальную скорость и ускорение точек струны.

Закон колебания струны имеет вид (ср. (2.53)):

откуда находим скорость и ускорение точек струны:

По условию (см. пример 3.). Максимальные значения скорости и ускорения равны:

Сложение гармоник

Выше мы уже занимались сложением колебаний, и теперь нам предстоит проделать то же самое, но для каждой точки колеблющейся струны.

Движение струны при возбуждении основной (первой) гармоники, показано на рис. 2.10–1. В начальном положении (линия отмечена красным цветом) точки струны имеют максимальное отклонение от положения равновесия. Под действием силы упругости они начинают двигаться (на рисунке – вертикально вниз), и форма струны через 1/8 периода показана линией зеленого цвета. Через четверть периода струна приходит в положение равновесия (линия черного цвета), но ее элементы имеют некоторые скорости, и потому в положении равновесия не задерживаются. Еще через 1/16 периода они оказываются в положении, показанном линией синего цвета, а через половину периода струна снова приобретает максимальное отклонение (пунктирная линия красного цвета), но в другую сторону, после чего процесс повторяется в обратном направлении. Так происходит колебание в стоячей волне, соответствующее первой гармонике, частоту которой мы обозначаем n1.

Рис. 2.10. Колебания струны:
1
первая гармоника; 2 вторая гармоника; 3 третья гармоника;

Но на струне, как мы уже знаем, могут возникать колебания и других гармоник. Вторая гармоника показана на том же рис. 2.10–2. Использование тех же обозначений позволяет не описывать процесс колебаний столь же детально. Заметим, что в этом случае имеется одна неподвижная точка (ее называют узлом) в середине струны. Поскольку узел все равно не движется, можно представить себе, что мы закрепили среднюю точку. И тем самым, не изменив частоты издаваемого звука, в два раза укоротили струну. Стало быть, частота колебаний ровно в два раза превышает частоту основной гармоники: . Этот результат мы уже получали другим способом.

На рис. 2.10–3 показаны колебания той же струны при возбуждении третьей гармоники. Здесь уже существует два узла, и издаваемый звук соответствует основному колебанию струны, укороченной в три раза (или, что то же самое, второй гармонике струны, длина которой составляет 2/3 исходной): .

Колебания струны для первых трех гармоник показаны на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Колебания струны для первых трех гармоник

На обсуждавшихся рисунках гармоники показаны без учета их амплитуд, то есть без учета их относительного вклада. На самом деле вклад гармоник может быть различным, так что в общем случае результирующее колебание получается сложением всех гармоник, каждая из которых представлена уравнением, аналогичным (2.59):

Здесь мы уже учли, что частоты и волновые числа принимают дискретный ряд значений; коэффициенты – это амплитуды соответствующих гармоник. Заметим, что в множителе с зависимостью от времени мы заменили синус косинусом, то есть сдвинули точку отсчета времени. Теперь в момент t = 0 скорости всех точек струны равны нулю.

На практике приходится решать обратную задачу: находить коэффициенты по известному результирующему колебанию. Численные значения зависят от способа возбуждения струны, например, от ее начальной формы . Если нам задана функция , то для нее из (2.62) следует разложение:

которое известно в математике как разложение в ряд Фурье. Там же доказывается теорема, что коэффициенты ип однозначно восстанавливаются по функции :

От величины примеси высших гармоник зависит форма колеблющейся струны. На рис. 2.12 показан вид колеблющейся струны в разные моменты времени при двух способах ее возбуждения. В обоих случаях струне придается некая начальная форма, после чего она отпускается «на свободу» (оставаясь закрепленной на концах, разумеется).

Рис. 2.12. Форма колеблющейся струны в различные моменты времени при разных формах струны в начальном состоянии:
1
струна оттянута на расстоянии 0.1 ее длины; 2 струне придана кусочно-синусоидная форма.

Мы рассматриваем два случая:

  • в начальном положении струна оттягивается за точку, находящуюся на расстоянии 0.1 ее длины, считая от ее закрепленного конца;
  • начальная форма струны описывается двумя синусоидами

Второй пример носит явно модельный характер и дан для сравнения. Надо сказать, что придание струне какой-то начальной формы — не единственный способ возбуждения колебаний. Можно, например, задать начальное распределение скоростей (как происходит, скажем, в фортепиано, где молоточек ударяет по струне, находящейся в положении равновесия).

Мы все же ограничимся двумя описанными случаями. На рис. 22.6 показаны положения точек струны за половину периода колебаний основной гармоники, после чего процесс повторяется в обратном направлении. За время, равное периоду колебаний Т1 первой гармоники, струна возвращается в исходное положение. Если струна настроена на ноту «до» первой октавы, то Т1 = 3.82 мс.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector